KILLEDRuntime Complexity (full) proof of /tmp/tmpDQeMtu/LengthOfFiniteLists_nokinds_noand_C.xml
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).0 CpxTRS↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 7001 ms)↳2 BOUNDS(n^1, INF)↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)↳4 CpxRelTRS↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms)↳6 typed CpxTrs↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳8 typed CpxTrs↳9 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 477 ms)↳10 BEST↳11 typed CpxTrs↳12 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 90 ms)↳13 BEST↳14 typed CpxTrs↳15 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳16 typed CpxTrs↳17 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 81 ms)↳18 BEST↳19 typed CpxTrs↳20 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳21 typed CpxTrs↳22 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 82 ms)↳23 BEST↳24 typed CpxTrs↳25 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳26 typed CpxTrs↳27 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳28 BEST↳29 typed CpxTrs↳30 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 10 ms)↳31 BEST↳32 typed CpxTrs↳33 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 28 ms)↳34 BEST↳35 typed CpxTrs↳36 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 48 ms)↳37 BEST↳38 typed CpxTrs↳39 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 44 ms)↳40 BEST↳41 typed CpxTrs↳42 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 71 ms)↳43 BEST↳44 typed CpxTrs↳45 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 57 ms)↳46 BEST↳47 typed CpxTrs↳48 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 135 ms)↳49 BEST↳50 typed CpxTrs↳51 typed CpxTrs↳52 typed CpxTrs↳53 typed CpxTrs↳54 typed CpxTrs↳55 typed CpxTrs↳56 typed CpxTrs↳57 typed CpxTrs↳58 typed CpxTrs↳59 typed CpxTrs↳60 typed CpxTrs↳61 typed CpxTrs↳62 typed CpxTrs(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, cons, U42, isNatIList, U52, isNatList, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
cons < proper
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okGenerator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, U42, isNatIList, U52, isNatList, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
cons < proper
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U42, active, isNatIList, U52, isNatList, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U42 < active
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U42 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)Induction Base:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n1502_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, active, U52, isNatList, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList < active
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatIList < proper
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.(16) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U52, active, isNatList, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U52 < active
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U52 < proper
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)Induction Base:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2171_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(18) Complex Obligation (BEST)
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, active, U62, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList < active
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatList < proper
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.(21) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U62, active, isNat, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U62 < active
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U62 < proper
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(22) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)Induction Base:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2944_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(23) Complex Obligation (BEST)
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, active, s, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNat < active
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNat < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.(26) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
s < proper
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5177_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(28) Complex Obligation (BEST)
(29) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, U11, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
length < proper
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(30) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n6186_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(31) Complex Obligation (BEST)
(32) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, U21, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U11 < proper
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)Induction Base:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n7296_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(34) Complex Obligation (BEST)
(35) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U21, active, U31, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U21 < active
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U21 < proper
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(36) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)Induction Base:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n8507_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(37) Complex Obligation (BEST)
(38) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U31, active, U41, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U31 < active
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U31 < proper
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)Induction Base:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n9819_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(40) Complex Obligation (BEST)
(41) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U41, active, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U41 < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U41 < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(42) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)Induction Base:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n11232_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(43) Complex Obligation (BEST)
(44) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U51, active, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U51 < active
U61 < active
active < top
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(45) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n147790)Induction Base:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n14779_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(46) Complex Obligation (BEST)
(47) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n147790)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U61, active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U61 < active
active < top
U61 < proper
proper < top(48) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n18630_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n186300)Induction Base:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))Induction Step:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n18630_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) →RΩ(1)
mark(U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n18630_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(49) Complex Obligation (BEST)
(50) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n147790)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n18630_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n186300)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top(51) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n147790)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n18630_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n186300)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(52) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n14779_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n147790)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(53) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11232_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n112320)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(54) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n9819_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n98190)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(55) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8507_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n85070)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(56) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7296_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n72960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(57) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n6186_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n61860)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(58) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5177_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n51770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(59) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)
U62(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2944_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n29440)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(60) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2171_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n21710)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(61) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1502_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n15020)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(62) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V2)) → mark(U42(isNatIList(V2)))
active(U42(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V2)) → mark(U52(isNatList(V2)))
active(U52(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L, N)) → mark(U62(isNat(N), L))
active(U62(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatList(V1)))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNat(V1)))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatList(V)))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(isNat(V1), V2))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(isNat(V1), V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(isNatList(L), L, N))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X)) → U11(active(X))
active(U21(X)) → U21(active(X))
active(U31(X)) → U31(active(X))
active(U41(X1, X2)) → U41(active(X1), X2)
active(U42(X)) → U42(active(X))
active(U51(X1, X2)) → U51(active(X1), X2)
active(U52(X)) → U52(active(X))
active(U61(X1, X2, X3)) → U61(active(X1), X2, X3)
active(U62(X1, X2)) → U62(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X)) → mark(U11(X))
U21(mark(X)) → mark(U21(X))
U31(mark(X)) → mark(U31(X))
U41(mark(X1), X2) → mark(U41(X1, X2))
U42(mark(X)) → mark(U42(X))
U51(mark(X1), X2) → mark(U51(X1, X2))
U52(mark(X)) → mark(U52(X))
U61(mark(X1), X2, X3) → mark(U61(X1, X2, X3))
U62(mark(X1), X2) → mark(U62(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X)) → U11(proper(X))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U21(X)) → U21(proper(X))
proper(U31(X)) → U31(proper(X))
proper(U41(X1, X2)) → U41(proper(X1), proper(X2))
proper(U42(X)) → U42(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2)) → U51(proper(X1), proper(X2))
proper(U52(X)) → U52(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U61(X1, X2, X3)) → U61(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U62(X1, X2)) → U62(proper(X1), proper(X2))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X)) → ok(U11(X))
U21(ok(X)) → ok(U21(X))
U31(ok(X)) → ok(U31(X))
U41(ok(X1), ok(X2)) → ok(U41(X1, X2))
U42(ok(X)) → ok(U42(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2)) → ok(U51(X1, X2))
U52(ok(X)) → ok(U52(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U61(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U61(X1, X2, X3))
U62(ok(X1), ok(X2)) → ok(U62(X1, X2))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U62 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.